Données haute fréquence

Rebond bid-ask

∞structurel
Revu le 4 juin 2026. En 2026 : un trait permanent du marché, pas un avantage qui s'érode.

La dent de scie artificielle des prix de transaction, causée par les transactions alternant entre toucher le bid et lever l'ask, sans changement de juste valeur. Roll (1984) en déduit le spread effectif à partir de cette seule covariance sérielle.

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Rebond bid-asktirez le spreadIX-BOUNCE
Spread0.040
Estimation de Roll0.040
Juste valeur100,000 (plate)
les prix de transaction rebondissent bid↔ask · la juste valeur ne bouge jamais
Spread bid-ask0.040

À remarquer. La juste valeur est plate, pourtant les prix de transaction dessinent une dent de scie purement parce que les transactions alternent entre toucher le bid et lever l'ask. Roll (1984) transforme cette autocorrélation négative fallacieuse en une estimation du spread lui-même.

Qu'est-ce que le rebond bid-ask ?

Le rebond bid-ask est la tendance des transactions successives à printer au bid, puis à l'ask, puis au bid (rebondissant à travers le spread) parce que les acheteurs lèvent l'ask et les vendeurs frappent le bid. Le mid (vraie valeur) peut être parfaitement immobile, et pourtant le prix de transaction oscille jusqu'à concurrence du spread entier, fabriquant des variations de prix apparentes qui sont du pur bruit de microstructure. Imaginez la juste valeur fixée à 50,005 toute la minute. Un acheteur arrive et paie l'ask, 50,01 ; un vendeur arrive et frappe le bid, 50,00 ; un autre acheteur, 50,01. La bande des transactions affiche 50,01, 50,00, 50,01, une « oscillation » d'un tick qui reflète qui a initié, et non un changement de valeur.

C'est l'exemple canonique du bruit de microstructure : le prix de transaction observé est le prix efficient (juste) plus un terme de bruit égal au demi-spread signé : plus quand l'acheteur a franchi, moins quand le vendeur l'a fait. Tout autre piège des données tick est un cousin de cette idée. Ouvrez l'explorateur ci-dessus avec « afficher le prix efficient » activé et le préréglage dérive nulle : la ligne latente est plate, les prints rebondissent autour, et tout le tremblement mesuré est du rebond, rien de la valeur.

Prix observé = prix efficient + un terme de bruit égal à la moitié du spread, signé par le sens de la transaction. Avec un prix efficient plat, chaque « mouvement » de la bande des transactions est ce bruit : du pur rebond.
pt  =  mt  +  c2 qt,qt∈{+1, −1} (buy / sell)p_t \;=\; m_t \;+\; \tfrac{c}{2}\,q_t, \qquad q_t \in \{+1,\,-1\}\ \text{(buy / sell)}

Pourquoi le rebond gonfle-t-il la volatilité mesurée ?

La volatilité réalisée se calcule en sommant des rendements au carré. Le rebond ajoute un terme de bruit à chaque prix, si bien que chaque rendement capte deux fois le bruit : le bruit d'un print moins celui du print précédent. Différencier deux prix bruités double l'empreinte du bruit dans le rendement ; mettez au carré et sommez beaucoup de tels rendements et la variance du bruit ne s'annule pas, elle s'accumule, ajoutant un biais positif qui croît avec le nombre d'intervalles, c'est-à-dire avec la finesse de l'échantillonnage. Échantillonnez chaque transaction et vous mesurez surtout du bruit ; échantillonnez par jour et le bruit est négligeable face à la vraie variance.

Écrivez le log-prix observé comme pt=mt+utp_t = m_t + u_t : prix efficient mtm_t plus bruit i.i.d. utu_t de variance ω2\omega^2. La variance réalisée sur nn intervalles a alors pour espérance environ σ2+2n ω2\sigma^2 + 2n\,\omega^2, si bien que quand n→∞n \to \infty le terme de bruit domine et la variance réalisée diverge au lieu de converger vers σ2\sigma^2. C'est le « graphe de signature de volatilité » qui explose en haute fréquence. La règle pratique : ne jamais calculer la volatilité à court horizon à partir de prints de transactions bruts. Soit échantillonnez assez grossièrement pour que 2nω22n\omega^2 soit petit, soit utilisez le mid au lieu du prix de transaction (ce qui tue le rebond), soit utilisez un estimateur robuste au bruit : la volatilité réalisée à deux échelles (Zhang–Mykland–Aït-Sahalia 2005) ou les noyaux réalisés (Barndorff-Nielsen et al. 2008). Regardez le panneau « σ mesurée vs σ vraie » ci-dessus grimper à mesure que vous accélérez le curseur de fréquence d'échantillonnage.

La variance réalisée égale la vraie variance plus un terme de bruit qui croît linéairement avec le nombre d'intervalles d'échantillonnage, si bien qu'un échantillonnage plus rapide fait diverger l'estimation au lieu de converger. Le graphe de signature est cette formule rendue visible.
E[ RV ]  ≈  σ2  +  2n ω2  →  n→∞    ∞\mathbb{E}[\,\text{RV}\,] \;\approx\; \sigma^2 \;+\; 2n\,\omega^2 \;\xrightarrow[\;n\to\infty\;]{}\; \infty

Qu'est-ce que le modèle de Roll (1984) ?

Roll (1984) transforme le rebond d'une nuisance en une mesure. Un achat (print à l'ask) tend à être suivi d'un rendement à la baisse, puisque le print suivant est aussi probable au bid, et vice versa, si bien que les rendements successifs sont négativement corrélés purement du fait du rebond, et la force de cette corrélation négative encode la largeur du spread. Sous les hypothèses de Roll (un prix efficient qui est une marche aléatoire, et des sens de transaction achat/vente i.i.d. indépendants de lui), le rebond induit une autocovariance d'ordre un dans les rendements de prix de transaction exactement égale à −c2/4-c^2/4, où cc est le spread effectif. Inversez-la et vous récupérez le spread à partir des seuls prix de transaction, sans aucune donnée de cotation, ce qui est inestimable sur les bandes historiques ou de basse qualité où vous n'avez que des prints.

C'est l'ancêtre de toute une famille d'estimateurs de spread effectif (Corwin–Schultz high-low, 2012 ; Abdi–Ranaldo, 2017) qui assouplissent les hypothèses fortes de Roll. Le panneau d'autocovariance de l'explorateur ci-dessus montre γ1<0\gamma_1 \lt 0 avec l'estimation en direct 2−γ12\sqrt{-\gamma_1} à côté du vrai cc.

Le spread se manifeste comme une corrélation négative fixe entre variations de prix de transaction consécutives. L'autocovariance d'ordre un est −c2/4-c^2/4 ; inversez-la pour estimer le spread effectif à partir des seuls prints.
Cov(Δpt, Δpt−1)=−c24⟹c^=2−γ1\mathrm{Cov}(\Delta p_t,\, \Delta p_{t-1}) = -\tfrac{c^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad \hat{c} = 2\sqrt{-\gamma_1}
▸ Voir la dérivation optionnel

Écrivez la variation de prix comme l'innovation efficiente plus la variation du demi-spread signé, avec Δmt\Delta m_t de moyenne nulle, variance σm2\sigma_m^2, non corrélé sériellement ; qtq_t i.i.d. avec P(q=+1)=P(q=−1)=12P(q=+1)=P(q=-1)=\tfrac12 donc E[qt]=0\mathbb{E}[q_t]=0, Var(qt)=1\mathrm{Var}(q_t)=1 ; et q⊥mq \perp m.

Δpt  =  Δmt  +  c2 (qt−qt−1)\Delta p_t \;=\; \Delta m_t \;+\; \tfrac{c}{2}\,(q_t - q_{t-1})

Formez l'autocovariance d'ordre un. Les termes Δm\Delta m disparaissent (les innovations efficientes sont non corrélées sériellement et indépendantes des sens), ne laissant que le terme de sens :

Cov(Δpt,Δpt−1)=(c2)2E[(qt−qt−1)(qt−1−qt−2)]\mathrm{Cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t-1}) = \left(\tfrac{c}{2}\right)^2 \mathbb{E}\big[(q_t - q_{t-1})(q_{t-1} - q_{t-2})\big]

Développez l'espérance avec E[qtqs]=0\mathbb{E}[q_t q_s] = 0 pour t≠st \neq s et E[qt2]=1\mathbb{E}[q_t^2] = 1 : seul le terme −E[qt−12]-\mathbb{E}[q_{t-1}^2] survit, donnant −1-1.

E[(qt−qt−1)(qt−1−qt−2)]=0−0−1+0=−1\mathbb{E}\big[(q_t - q_{t-1})(q_{t-1} - q_{t-2})\big] = 0 - 0 - 1 + 0 = -1

Donc γ1=(c2)2(−1)=−c24\gamma_1 = \left(\tfrac{c}{2}\right)^2 (-1) = -\tfrac{c^2}{4}, et l'inversion donne c^=2−γ1\hat{c} = 2\sqrt{-\gamma_1}. L'estimateur n'est réel que quand γ1<0\gamma_1 \lt 0 ; des autocovariances d'échantillon positives (dues à la dérive, à un flux d'ordres autocorrélé, ou à un échantillonnage clairsemé) rendent l'estimation de Roll indéfinie, un mode d'échec connu que cette page signale plus bas.

Où le modèle de Roll casse-t-il, et qu'est-ce qui le remplace ?

Roll suppose des sens de transaction i.i.d. et un prix efficient en pure marche aléatoire ; les vrais marchés n'honorent ni l'un ni l'autre. Les sens de transaction sont fortement positivement autocorrélés (fractionnement d'ordres, mimétisme), un fait stylisé à part entière, et cette autocorrélation positive travaille contre l'autocovariance négative induite par le rebond, si bien que le γ1\gamma_1 mesuré est biaisé vers zéro ou le positif et Roll sous-estime le spread ou ne renvoie aucune estimation. La sélection adverse l'embrouille encore : quand le flux informé bouge le prix efficient dans le sens de la transaction, une partie de ce qui ressemble à du « spread » est de l'impact permanent, pas du rebond : la décomposition de Glosten–Milgrom / Stoll scinde le spread en composantes de traitement d'ordre, d'inventaire et de sélection adverse, dont seules certaines sont captées par Roll.

Les remplacements gardent l'idée centrale de Roll (le spread se cache dans la dépendance sérielle des prix) tout en assouplissant ses hypothèses : la version par échantillonneur de Gibbs bayésien de Hasbrouck, l'estimateur high-low de Corwin–Schultz (2012), et l'estimateur close-high-low d'Abdi–Ranaldo (2017). Roll est l'idée fondatrice, pas l'estimateur de production : connaissez-le parce que tout ce qui suit est « Roll, mais robuste à X ». C'est le spread que le rebond encode, un vrai coût implicite de trading, et la quantité que la décomposition spread vs sélection adverse sépare. Montez la commande d'autocorrélation des sens de transaction dans l'explorateur ci-dessus et regardez l'estimation de Roll se dégrader.

L'autocorrélation positive du flux d'ordres pousse l'autocovariance mesurée vers (ou au-delà de) zéro, si bien que Roll sous-estime le spread ou échoue entièrement. Les estimateurs modernes assouplissent l'hypothèse de sens i.i.d. qui casse ici.
Corr(qt,qt−1)>0  ⇒  γ1↑  ⇒  c^=2−γ1 biased low or undefined\text{Corr}(q_t, q_{t-1}) \gt 0 \;\Rightarrow\; \gamma_1 \uparrow \;\Rightarrow\; \hat{c} = 2\sqrt{-\gamma_1}\ \text{biased low or undefined}

Exemple travaillé

Une bande synthétique de modèle de Roll, en 2026. Reproduisez-la dans l'explorateur ci-dessus. Fixez le prix efficient plat à 50,005 (vraie σ sur la fenêtre ≈ 0, pour la clarté), un spread effectif c=0.02c = 0.02 (deux ticks de 0,01), des sens de transaction i.i.d. à pile ou face équitable, et générez 10 000 prints. Avec un mid de 50,005 et c=0.02c = 0.02, le bid est 49,995 et l'ask 50,015, si bien que chaque print atterrit sur l'un de ces deux : le prix « bouge » de 0,02 environ une fois sur deux. Calculez les rendements par transaction, annualisez, et la σ mesurée est grande et entièrement fallacieuse : la vraie σ efficiente était nulle, donc tout est du rebond.

Faites maintenant tourner Roll. L'autocovariance d'ordre un des rendements de l'échantillon ressort à γ1≈−c2/4=−(0.02)2/4=−0.0001\gamma_1 \approx -c^2/4 = -(0.02)^2/4 = -0.0001, et l'inversion récupère le vrai spread de deux ticks à partir des seuls prix.

À partir d'un prix efficient plat et d'un spread connu de 2 ticks, Roll récupère c^=0.02\hat{c}=0.02 à partir des seuls prints de transaction, sans cotation utilisée. L'autocovariance négative est le spread.
c^=2−γ1=20.0001=2×0.01=0.02\hat{c} = 2\sqrt{-\gamma_1} = 2\sqrt{0.0001} = 2 \times 0.01 = 0.02

Puis cassez-le : activez une petite dérive du prix efficient et une autocorrélation positive des sens. γ1\gamma_1 rétrécit vers zéro (et peut devenir positif), si bien que l'estimation de Roll tombe sous 0,02 ou devient indéfinie, démontrant exactement le mode d'échec pour lequel les remplacements ont été construits. Ces chiffres sont illustratifs et synthétiques ; l'explorateur vous laisse fixer cc, la vraie σ et l'autocorrélation des sens et regarder le biais comme l'estimation de Roll réagir. Les vrais spreads effectifs varient par instrument, place et heure de la journée (en 2026). Le rebond est le premier de quatre pièges statistiques des données tick ; les autres (queues épaisses, temps irrégulier et inférence du sens des transactions) cassent chacun une hypothèse naïve de la même manière. La volatilité surévaluée que ce piège produit est exactement ce qui fabrique de faux signaux de retour à la moyenne dans l'arbitrage statistique et corrompt l'entrée de volatilité de la tenue de marché.

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Questions fréquentes

Qu'est-ce que le rebond bid-ask ?
Le rebond bid-ask est la dent de scie artificielle des prix de transaction, causée par les transactions alternant entre toucher le bid et lever l'ask, sans changement de la juste valeur sous-jacente. Il gonfle la volatilité mesurée et crée une autocorrélation négative fallacieuse des rendements. Le modèle de Roll (1984) utilise justement cette covariance sérielle pour déduire le spread effectif à partir des seuls prix de transaction.