Avellaneda–Stoikov

Le modèle canonique de tenue de marché conscient de l'inventaire (2008). Il cote autour d'un prix de réservation qui s'écarte de votre inventaire, arbitrant le spread gagné contre le risque d'inventaire sur un horizon fini, gouverné par l'aversion au risque γ.

Voir en mouvement

Qu'est-ce que le modèle d'Avellaneda–Stoikov ?

Avellaneda–Stoikov (2008) est le modèle canonique des cotations optimales de tenue de marché sous risque d'inventaire. Il pose la cotation comme un problème de contrôle stochastique : un teneur à aversion au risque finie choisissant les écarts bid et ask pour maximiser l'utilité espérée de la richesse terminale sur une session. La solution est une paire de cotations en forme close qui s'appuient contre l'inventaire et s'élargissent avec le risque et la volatilité.

Un teneur de marché a deux tâches en tension : gagner le spread (coter serré, s'exécuter souvent) et ne pas se retrouver coincé avec une grosse position (coter de manière à se remettre à plat). A–S écrit cette tension comme un problème de maximisation d'utilité et le résout. La réponse n'est pas « coter un spread fixe autour du mid » ; c'est « coter autour d'une juste valeur privée qui s'écarte de votre inventaire, à un spread qui dépend de votre aversion au risque et du comportement du marché ».

Le cadre, nommé et daté : Marco Avellaneda et Sasha Stoikov, « High-frequency trading in a limit order book » (2008), bâti sur la tradition de l'inventaire des teneurs de Ho & Stoll (1981). Un teneur averse au risque (utilité exponentielle / CARA, aversion au risque $\gamma$) cote sur un actif dont le mid suit un mouvement brownien arithmétique de volatilité $\sigma$ ; les ordres arrivent et exécutent ses cotations à une intensité qui décroît avec la distance de la cotation au mid ; la session court jusqu'à un instant terminal $T$. Ce qu'il livre, c'est un prix de réservation (votre juste valeur ajustée de l'inventaire) et un demi-spread optimal, tous deux en forme close, si bien que vous pouvez calculer exactement où coter à tout inventaire et tout temps avant clôture. Cette forme close est ce qui le rend enseignable et la référence standard ; voir le hub tenue de marché pour situer sa place.

Qu'est-ce que le prix de réservation ?

Le prix de réservation est la juste valeur privée, ajustée de l'inventaire du teneur : le prix auquel il est indifférent à détenir sa position courante. Il se situe sous le mid quand le teneur est long et au-dessus quand il est court, d'un montant qui croît avec l'inventaire, la volatilité, l'aversion au risque et le temps restant.

Si vous êtes long, vous préférez vendre qu'acheter, votre « juste valeur » à des fins de cotation est donc ombrée à la baisse : vous vendrez volontiers un peu moins cher pour vous remettre à plat, et vous êtes réticent à acheter davantage. Le prix de réservation encode exactement cet appui. À inventaire nul il égale le mid ; plus vous portez d'inventaire, plus il s'appuie loin.

Ici $s$ est le mid (prix efficient), $q$ l'inventaire signé en lots, $\gamma$ l'aversion au risque, $\sigma^{2}$ la variance par unité de temps, et $(T-t)$ le temps restant dans la session. Le décalage est linéaire en l'inventaire $q$ et croît avec la variance restante $\sigma^{2}(T-t)$ : tôt dans une session volatile, vous inclinez fort pour une position donnée ; quand $t \to T$ le terme d'inventaire s'évanouit et $r \to s$ : plus de temps pour que la position vous fasse mal, donc aucune raison de vous appuyer.

Vous cotez ensuite symétriquement autour de $r$, pas autour de $s$. Ainsi un book long ($q \gt 0$) place ses deux cotations plus bas qu'un book à plat ne le ferait : son ask est plus empressé à être levé, ce qui aplatit la position. C'est la forme rigoureuse de l'inclinaison d'inventaire.

Qu'est-ce que le spread optimal ?

Le spread total optimal a deux parties : un terme de risque d'inventaire qui élargit le spread quand le risque, la volatilité ou le temps avant clôture sont élevés, et un terme de taux d'exécution qui fixe à quelle distance coter étant donné la vitesse de décroissance des exécutions avec la distance.

Le spread que vous facturez est votre compensation pour deux choses distinctes. D'abord, pour le risque de prix de l'inventaire que vous allez accumuler : c'est la partie $\gamma\sigma^{2}(T-t)$, qui rétrécit à zéro à la clôture. Ensuite, pour l'arbitrage entre s'exécuter souvent (coter serré) et gagner par exécution (coter large) : c'est la partie $(2/\gamma)\ln(1+\gamma/\kappa)$, qui dépend de la pente avec laquelle la probabilité d'exécution chute avec la distance (gouvernée par $\kappa$).

Le bid et l'ask sont placés symétriquement autour du prix de réservation $r$, chacun à la moitié de ce total depuis $r$. Comme $r$ lui-même s'appuie avec l'inventaire, les cotations sur le carnet sont asymétriques autour du mid même si elles sont symétriques autour de $r$ :

Montez $\gamma$ et observez l'arbitrage : le terme d'inventaire s'élargit, les exécutions s'effondrent, le modèle refuse d'accumuler une position, et la distribution du P&L terminal se resserre (moins de variance) tandis que sa moyenne glisse à la baisse. Vous avez acheté de la sécurité avec du spread. C'est toute la leçon, et le simulateur ci-dessus la rend tangible.

Qu'est-ce que l'intensité d'exécution λ(δ) ?

L'hypothèse du modèle sur la fréquence à laquelle votre cotation est frappée est que plus vous cotez loin du mid, moins souvent vous vous exécutez, avec une décroissance exponentielle. Une cotation posée juste au touch est frappée constamment ; une cotation cinq ticks en arrière, presque jamais. L'exponentielle capte cette décroissance, et c'est ce qui transforme « où coter » en une optimisation plutôt qu'une devinette.

Empiriquement, la probabilité qu'un ordre au marché atteigne une profondeur donnée du carnet décroît à peu près exponentiellement, et A–S l'adoptent comme modèle d'arrivée. $\kappa$ est calibré sur les données (à quelle vitesse la probabilité d'exécution décroît avec la distance) et $A$ sur la fréquence globale des transactions. Un $\kappa$ élevé (les exécutions meurent vite avec la distance) vous force à coter serré, si bien que le terme de taux d'exécution rétrécit ; le paramètre $A$ échelonne le flux global et s'annule dans les écarts optimaux, n'affectant que le nombre d'exécutions réalisé. Dans une vraie implémentation, ce sont les paramètres que vous ajustez par instrument et par régime, et là où les books de production de 2026 remplacent l'exponentielle statique par un modèle d'exécution appris, dépendant de l'état.

Cette intensité est le lien avec le reste de ces guides : le même flux qui vous exécute est le flux que vous devez classer en informé ou bruit (sélection adverse), et le déséquilibre qu'il contient est ce que l'OFI et le microprice lisent pour affiner la juste valeur $s$ sur laquelle vous centrez.

Voir la dérivation : le problème HJB derrière

A–S résolvent une équation de Hamilton–Jacobi–Bellman pour la fonction valeur du teneur. Ils maximisent l'utilité exponentielle espérée de la richesse terminale (cash plus inventaire marqué au mid) sur les écarts bid/ask, étant donné le mid brownien arithmétique et les intensités d'exécution exponentielles. Une approximation à petit inventaire / utilité gelée réduit l'EDP au prix de réservation et au spread en forme close ci-dessus.

À quelle distance est-on d'un vrai teneur de marché ?

Assez loin pour le respecter. A–S est un jouet mono-actif, mono-période, à volatilité gelée, exécution exponentielle, sans frais, sans concurrence. Un teneur de marché de production en 2026 ajoute la couverture multi-actifs, la volatilité à changement de régime ou stochastique, des intensités d'exécution apprises et dépendantes de l'état, des frais et rabais, la latence et la file, le risque de saut et de gap, et la détection de toxicité en direct. Le modèle donne la forme de la réponse, pas la réponse.

L'écart honnête, détaillé. Un actif, sans couverture : les vrais books cotent de nombreux instruments corrélés et couvrent l'inventaire dans le plus liquide ; A–S ne dit rien du problème inter-actifs. $\sigma$ gelée, sans sauts : la volatilité est traitée comme constante, mais en réalité elle se regroupe et fait des gaps (voir queues épaisses et temps irrégulier), et un seul saut à travers vos cotations peut écraser une journée de spread. Exécutions exponentielles, sans concurrence : l'intensité $\lambda(\delta)=Ae^{-\kappa\delta}$ ignore la file (priorité prix-temps), les autres teneurs, et le fait que le flux qui vous exécute est en partie informé. A–S ne modélise pas la sélection adverse directement, ce qui est le travail de la famille Tenue de marché II. Sans frais, rabais ni latence : le P&L réel vit ou meurt sur la grille maker-taker, le rabais, et le fait que votre recotation atteigne le moteur avant que le prix ne bouge (l'autre côté de l'arbitrage de latence).

Quoi en faire malgré tout : utilisez A–S comme échafaudage (la structure prix-de-réservation-et-inclinaison est juste) et étendez-le. La plupart des bots de cotation crypto et de marchés de prédiction sérieux sont reconnaissablement du A–S en dessous, avec une meilleure juste valeur (microprice), un filtre de toxicité (VPIN), des termes de frais, et un modèle d'exécution appris greffés. C'est le chemin de construction que soutiennent les jeux de données et outils. Ce que l'IA change : les entrées s'affinent ($\sigma$ apprise, $\lambda(\delta)$ apprise, juste valeur apprise) mais la structure de contrôle qu'A–S dérive est la chose que vous paramétrez, pas que vous remplacez (voir ce que l'IA change pour le HFT).

Exemple travaillé

Un calcul de cotation A–S unique, sous forme d'un instantané travaillé de 2026. Paramètres : mid $s = 100.00$, aversion au risque $\gamma = 0.1$, volatilité $\sigma = 2.0$ (par $\sqrt{\text{unit-time}}$), décroissance d'exécution $\kappa = 1.5$, session $T = 1.0$, instant courant $t = 0$ donc $(T-t)=1.0$.

Book à plat, $q = 0$. Le prix de réservation égale le mid (aucun inventaire contre lequel s'appuyer) : $r = 100.00$. Le spread total est :

Vous cotez donc bid ≈ 99,155 / ask ≈ 100,845, symétrique autour du mid.

Inventaire long, $q = +5$. Le prix de réservation s'appuie à la baisse : $r = 100.00 - 5\cdot 0.1\cdot 4\cdot 1 = 98.00$. Votre juste valeur privée a bougé de 2,00 sous le mid parce que vous êtes long et voulez vendre. Le spread total est inchangé (il ne dépend pas de $q$ dans la forme close), vous cotez donc symétriquement autour de $r$ : bid ≈ 97,155 / ask ≈ 98,845. Les deux cotations sont désormais sous le mid : votre ask à 98,845 se situe sous le mid de 100,00, il est donc très probable d'être levé, ce qui vous remet à plat. C'est le modèle qui vend préférentiellement pour délester l'inventaire. (Que vous cotiez littéralement un ask sous le mid en pratique est exactement le genre de cas limite que le jouet en forme close produit et qu'une vraie implémentation borne, une bonne chose à remarquer.)

Près de la clôture, $q = +5$, $t = 0.95$ donc $(T-t)=0.05$. Le prix de réservation est maintenant $r = 100.00 - 5\cdot 0.1\cdot 4\cdot 0.05 = 99.90$. L'appui a presque disparu : avec peu de temps restant, l'inventaire ne peut guère vous faire mal, le modèle cesse donc d'incliner et se recentre sur le mid.

Monter l'aversion au risque à $\gamma = 0.8$ (book à plat). Le terme d'inventaire $\gamma\sigma^{2}(T-t) = 0.8\cdot 4\cdot 1 = 3.2$ domine désormais ; le spread enfle, les exécutions s'effondrent, et sur un lot Monte-Carlo l'histogramme du P&L terminal se resserre fortement tandis que sa moyenne chute. Vous avez acheté une réduction de variance au prix d'un spread renoncé ; réglez-le en direct dans le simulateur ci-dessus.

Les chiffres sont illustratifs et synthétiques ; en pratique $\gamma$, $\sigma$, $A$ et $\kappa$ sont calibrés par instrument et régime, et la forme close est bornée et étendue. Pédagogique seulement, pas un conseil en investissement ; aucun P&L n'est promis.